関数解析学とは,関数の集合がなす無限次元空間とその上で
定義された作用素について,代数的,位相的,解析的な性質を
調べることを目的とした大きな数学分野である.この講義では,
各種の関数空間と線形作用素に関する基礎を解説する.
関数解析学の重要な抽象概念,および,幾つかの重要な
具体例の扱いの双方に習熟することを目的とする.
1.バナッハ空間
ノルム空間,バナッハ空間
2.ヒルベルト空間
内積空間,ヒルベルト空間,(完全)正規直交系
3.線形作用素
有界作用素,(可)閉作用素,開写像定理,一様有界性原理
4.共役空間
線形汎関数,共役空間,ハーン・バナッハの定理,弱位相
5.発展的な話題
スペクトル理論,コンパクト作用素,
偏微分方程式論への応用等から,適宜話題を洗濯する.
教科書は特に指定しない.参考書として以下の本をあげておく.
関数解析の基礎(コルモゴロフ/フォミーン著)岩波書店
関数解析(藤田宏著)岩波書店
関数解析(黒田成俊著)共立出版
関数解析入門(高村多賀子著)朝倉書店
解析概論(第一,第二),集合と位相(第一,第二),応用解析序論,
実解析第一を履修していることが望ましい.
成績は中間試験と期末試験等(場合によってはレポート)によって
総合的に評価する.
解析系の分野を志す者は,この科目を履修することを強く勧めます.